# 인과관계 맵

:::goals
- 소자 치수, 바이어스, 용량, 시간 같은 손잡이 하나가 여러 장의 양을 거쳐 read noise와 settling error로 이어지는 길을 따라갈 수 있다.
- 한 손잡이가 좋은 쪽과 나쁜 쪽을 동시에 움직이는 균형(trade-off)을 맵에서 찾을 수 있다.
- 이 맵이 어떤 단순화 위에 있는지 알고, 결과를 어디까지 믿을지 판단할 수 있다.
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## 한 문장으로
앞의 장들은 하나씩 따로 읽었다. 그런데 실제 회로에서는 **손잡이 하나가 여러 장에 걸쳐 동시에 영향을 준다.** SF의 폭을 키우면 02장의 $g_m$, 03장의 $C_{gs}$, 04장의 CG, 07장의 정착, 10장의 noise가 한꺼번에 움직인다. 이 부록의 맵은 그 연결을 한 화면에 모은 것이다.

## 맵 읽는 법
- **열**은 신호가 지나는 순서다. 환경·소재 → SF 소자 → FD·CG → column 정착 → 대역·CDS → ADC → 결과 지표.
- **점선 테두리** 노드는 직접 바꾸는 손잡이(파라미터), **실선** 노드는 식으로 계산되는 양이다. 손잡이를 누르면 슬라이더가 나온다.
- 노드에 마우스를 올리거나 누르면 그 노드의 **원인(상류)**과 **결과(하류)** 경로만 남는다. 옆 패널에 식과 직접 원인·직접 영향이 나온다.
- 값을 바꾸면 변화가 인과 순서대로 한 층씩 퍼진다. ▲/▼는 기본값 대비 변화율이다.

[[causal]]

## 따라가 볼 길
**1. SF를 키우면 noise가 줄까? — 용량 맞춤.** 빠른 실험의 "SF 폭 W 두 배"를 눌러 보자. $g_m$이 커져 gate 환산 thermal noise가 줄고, 면적이 커져 1/f noise도 준다. 그런데 결과 지표의 SF read noise는 오히려 **늘어난다.** $C_{gs}$가 두 배가 되어 CG가 줄고, SF noise를 전자로 바꿀 때 곱하는 실제 용량 $C_f + C_{gs}$가 커지기 때문이다(10장). gate noise가 주는 속도보다 용량이 느는 속도가 빠르면 손해다.

$$
\text{RN}_{SF} \propto \sqrt{S_{v_g}}\,(C_f + C_{gs})
$$

강반전에서 같은 전류로 W만 바꾸면 $g_m \propto \sqrt{W} \propto \sqrt{C_{gs}}$이고, 1/f noise는 $1/(WL) \propto 1/C_{gs}$이다. 이것을 넣고 RN이 가장 작은 $C_{gs}$를 구하면 다음과 같다.

| 지배 성분 | gate 환산 PSD | RN이 최소인 조건 |
|---|---|---|
| thermal | $\propto 1/g_m \propto C_{gs}^{-1/2}$ | $C_{gs} = C_f/3$ |
| 1/f | $\propto 1/(WL) \propto C_{gs}^{-1}$ | $C_{gs} = C_f$ |

이 관계를 ==용량 맞춤==(capacitive matching)이라고 한다. 입력 소자를 무작정 키우는 것이 아니라, 붙어 있는 나머지 용량과 견주어 크기를 정한다. 같은 전류, 고정된 L, 강반전이라는 가정 위의 결과이며, 실제로는 대역과 정착도 함께 바뀐다(맵에서 τ가 같이 줄어드는 것을 확인하자).

**2. 온도가 오르면.** "온도 85 °C"를 눌러 보자. 이동도가 줄어 같은 전류에 필요한 $V_{ov}$가 커지고 $g_m$이 준다. 그러면 SF 출력 저항이 커져 τ가 늘고, 같은 정착 시간에서 settling error가 크게 는다. 동시에 $kT$가 커지고 $g_m$이 줄어 thermal noise가 는다(부록 A). 한 손잡이가 **정착과 noise를 같은 방향으로 나쁘게** 만드는 경우다.

**3. CDS 간격을 줄이면.** "CDS 간격 0.5 µs"를 누르면 1/f 잔여가 준다(13장). 맵에서는 정착 시간과 CDS 간격을 따로 두었지만, 실제 readout에서는 두 표본 사이에 signal 전송과 정착이 들어가야 하므로 간격을 마음대로 줄일 수 없다. **맵에서 따로 있는 손잡이가 실제로는 묶여 있을 수 있다**는 점을 기억하자.

**4. ADC bit를 바꾸면.** 10 bit로 낮추면 변환이 빨라져 행 읽기 시간이 줄지만, LSB가 커져 양자화 몫이 read noise를 지배한다. 14 bit로 올리면 반대다(15장). 양자화 몫이 SF noise보다 충분히 작아지면 bit를 더 늘려도 read noise는 거의 줄지 않고 시간만 는다.

## 맵의 단순화
맵의 식은 각 장의 가장 단순한 형태다. 결과를 읽을 때 다음 가정을 함께 떠올리자.

- SF는 포화 square-law, $C_{gs} = \tfrac{2}{3}WLC_{ox}$. 약반전으로 가까워지면 $g_m$이 이 식보다 작다(02장).
- column 정착은 Elmore 1-pole과 slew 전환 어림(07장). 다중 pole의 지연은 들어 있지 않다.
- 대역은 SF·column과 비교기의 τ를 더한 1-pole, 1/f의 CDS 잔여는 $f_cT \gg 1$일 때의 어림(13장).
- FD 용량은 고정값이다. 실제 접합 용량은 전압에 따라 변한다(03장).
- 원천들은 서로 독립이라고 보고 분산으로 더한다. RTS, 누설, 상관된 원천은 없다(10·14장).
- reset noise는 CDS로 완전히 지워진다고 보고 read noise에 넣지 않는다(12장).

> 이 맵의 값은 개념을 보여 주기 위한 합성 예제다. 방향과 크기의 감을 잡는 데 쓰고, 정량 판단은 해당 장의 상세 식이나 회로 시뮬레이션으로 확인한다.

## 핵심 정리
- 손잡이 하나는 여러 장의 양을 동시에 움직인다. 맵은 그 길을 원인과 결과로 보여 준다.
- SF를 키우면 gate noise는 줄지만 용량이 늘어 CG가 준다. RN이 최소인 입력 용량은 thermal 지배에서 $C_{gs} = C_f/3$, 1/f 지배에서 $C_{gs} = C_f$ 근처다(용량 맞춤).
- 온도는 이동도와 $kT$를 통해 정착과 noise를 함께 나쁘게 한다.
- 맵에서 독립인 손잡이가 실제 timing에서는 묶여 있을 수 있다.
- 맵의 식은 각 장의 단순화된 형태이며, 값은 합성 예제다.