# 수치 적분

:::goals
- noise 분산을 수치로 적분할 때 생기는 두 가지 오차(구간 안, 구간 밖)를 구분한다.
- 격자를 촘촘히 할 때 오차가 줄어드는 속도를 안다.
- 넓은 주파수 범위에서 로그 격자가 왜 효율적인지 안다.
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## 한 문장으로
PSD가 표로 주어지거나 닫힌형 적분이 없으면 컴퓨터로 면적을 더한다. 그때의 오차는 **구간 안을 거칠게 나눠 생기는 오차**와 **구간 밖을 잘라 버려 생기는 오차** 두 가지다. 둘을 따로 추정해야 "얼마나 정확한가"를 말할 수 있다.

## 구간 안의 오차
구간을 n개로 나눠 사다리꼴로 더하면, 매끄러운 함수에서 오차는 대략 $1/n^2$로 준다. 구간을 두 배로 나누면 오차가 약 1/4이 된다. Simpson 공식은 $1/n^4$로 더 빨리 줄어든다. 더 나아가 오차가 큰 곳만 골라 촘촘히 나누는 **적응형 구적법**(예: Gauss–Kronrod)은 구간마다 오차 추정값까지 함께 준다.

[[lab:integ]]

## 구간 밖의 오차
적분 상한 F에서 자르면 그 위의 꼬리를 놓친다. 1-pole PSD $S_0/(1+(f/f_c)^2)$에서 꼬리는 약 $S_0 f_c^2/F$다. 이렇게 **PSD의 경향으로 꼬리의 상한을 구해** 결과에 함께 적는다. 하한 쪽도 같다. 1/f noise처럼 하한에 민감한 성분은 하한을 어떻게 정했는지가 결과를 좌우한다(10·13장).

## 로그 격자
noise 대역은 Hz에서 GHz까지 여러 자릿수에 걸친다. 일정한 간격으로 나누면 낮은 주파수 쪽이 너무 거칠어진다. 주파수의 로그를 균일하게 나누고, $df = f\,d(\ln f)$로 바꿔 적분하면 모든 자릿수를 고르게 다룰 수 있다. 이 교재의 noise 실험들은 이 방법(로그 격자 위의 Simpson)을 쓴다.

## 특이한 점 다루기
- **CDS의 0점**: $4\sin^2(\pi f T)$는 $f = k/T$에서 0이 된다. 구간 경계를 이 점들에 맞추면 오차가 줄어든다.
- **봉우리**: 공진이 있는 전달함수는 좁은 봉우리를 가진다. 봉우리 근처를 촘촘히 나눠야 한다.
- **표 자료**: 측정 PSD는 점 사이를 어떻게 이을지(로그–로그 보간 등)를 정해야 하고, 그 선택도 결과의 일부다.

> 어떤 기준으로 "충분히 수렴했다"고 판단했는지(구간 안 오차 추정, 꼬리 상한, 허용 오차)를 결과와 함께 남기자. 그래야 다른 사람이 같은 숫자를 다시 얻을 수 있다.

## 핵심 정리
- 오차는 구간 안(격자)과 구간 밖(꼬리) 두 가지다.
- 사다리꼴은 $1/n^2$, Simpson은 $1/n^4$로 준다. 적응형 구적법은 오차 추정을 준다.
- 꼬리는 PSD의 경향으로 상한을 구해 함께 적는다.
- 넓은 대역에는 로그 격자가 효율적이다.