# kT/C

:::goals
- 커패시터에 남는 thermal noise가 $\sqrt{kT/C}$라는 것을 두 가지 방법으로 이해한다.
- 이 noise가 저항 값과 무관한 이유를 설명할 수 있다.
- kT/C를 전압과 전자 수로 계산하고, C를 바꿀 때 둘이 반대로 움직이는 것을 안다.
- hard reset과 soft reset의 차이, 그리고 4T 픽셀에서 CDS가 kT/C를 지우는 원리를 안다.
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## 한 문장으로
스위치를 닫아 커패시터를 어떤 전압에 맞춘 뒤 스위치를 열면, 커패시터에는 정확히 그 전압이 아니라 **매번 조금씩 다른 전압**이 남는다. 그 흔들림의 크기는 놀랍게도 온도와 용량만으로 정해진다.

$$
\sigma_V = \sqrt{\frac{kT}{C}}, \qquad \sigma_Q = \sqrt{kTC}
$$

## 방법 1: 열평형의 공평한 몫
열평형에 있는 계에서, 에너지를 담을 수 있는 독립된 "자리" 하나마다 평균 $\tfrac{1}{2}kT$의 에너지가 돌아간다(==등분배 정리==). 커패시터의 에너지 $\tfrac{1}{2}C v^2$도 그런 자리 하나다.

$$
\frac{1}{2}C\langle v^2\rangle = \frac{1}{2}kT \;\Rightarrow\; \langle v^2 \rangle = \frac{kT}{C}
$$

## 방법 2: 저항의 noise를 적분하기
스위치가 켜져 있을 때 그 on 저항 $R$은 $4kTR$의 thermal noise를 낸다(10장). 이 noise는 $R$과 $C$가 만드는 저역 통과 필터를 지나 커패시터에 걸린다. 11장의 ENBW를 쓰면 다음과 같다.

$$
\sigma^2 = 4kTR \cdot \frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2\pi RC} = \frac{kT}{C}
$$

**R이 지워진다.** 저항이 크면 noise 밀도가 커지지만 대역이 좁아지고, 저항이 작으면 반대가 된다. 두 효과가 정확히 상쇄된다. 04장에서 두 커패시터를 연결할 때 잃는 에너지가 저항과 무관했던 것과 같은 뿌리다.

[[lab:ktc]]

## 숫자로 감 잡기
300 K에서 $kT \approx 4.14\times10^{-21}$ J이다.

| C | σ (전압) | σ (전자 수) |
|---|---|---|
| 1 fF | 2.0 mV | 12.7 e⁻ |
| 4 fF | 1.0 mV | 25.4 e⁻ |
| 100 fF | 0.20 mV | 127 e⁻ |

C를 키우면 **전압** noise는 줄지만 **전자 수** noise는 늘어난다. 전자 수로는 $\sqrt{kTC}/q$이기 때문이다. FD처럼 작은 용량에서는 수 e⁻에서 십여 e⁻ 수준이라, 이것을 그대로 두면 저조도 화질이 크게 나빠진다.

## Hard reset과 soft reset
Reset transistor가 충분히 강하게 켜져(triode) FD를 기준 전압에 붙잡는 ==hard reset==에서는 위 결과가 그대로 맞는다. 반면 reset transistor의 gate가 충분히 높지 않아 FD가 약반전 전류로 천천히 충전되며 끝나는 ==soft reset==에서는 noise가 대략 $\sqrt{kT/2C}$로 작아진다. 대신 이전 프레임의 흔적이 남는 image lag가 생길 수 있다. 소자 쪽 설명은 CIS Pixel Device Physics 교재의 reset 장에 있다.

## 4T 픽셀은 왜 kT/C에서 자유로운가
4T 픽셀은 reset을 놓은 뒤 **같은 FD를** 먼저 한 번 읽고(reset level), 전자를 옮긴 뒤 다시 읽는다(signal level). reset을 놓을 때 남은 무작위 전하는 두 읽기에 똑같이 들어 있으므로, 빼면 사라진다(13장). 01장 시뮬레이터에서 kT/C를 켜고 꺼도 CDS 결과가 변하지 않았던 이유다.

> 주의: 3T 픽셀처럼 reset 값과 신호 값이 서로 다른 reset에서 나오면 kT/C가 지워지지 않는다. 또한 표본화 커패시터(09장)에 생기는 kT/C는 픽셀 reset과 별개로 매 표본마다 새로 생긴다.

## 핵심 정리
- 커패시터에 남는 thermal noise는 $\sqrt{kT/C}$ (전압), $\sqrt{kTC}/q$ (전자 수).
- 등분배로도, 저항 noise 적분으로도 같은 답이 나오며, 저항 값은 지워진다.
- C를 키우면 전압 noise는 줄고 전자 수 noise는 는다.
- soft reset은 noise가 작지만 lag 위험이 있다.
- 4T 픽셀은 같은 reset을 두 번 읽어 빼므로 FD의 kT/C가 지워진다.