# MOS 소자의 동작

:::goals
- MOSFET이 켜지는 원리를 "gate가 채널을 만든다"는 그림으로 설명할 수 있다.
- triode와 포화 영역의 차이를 채널 모양(pinch-off)으로 설명할 수 있다.
- 문턱 아래에서도 전류가 흐르는 이유와, 그 전류가 gate 전압에 지수적으로 변하는 것을 안다.
- 작은 신호에서 쓰는 $g_m$, $g_{mb}$, $g_{ds}$가 무엇을 뜻하는지 안다.
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## 한 문장으로
MOSFET은 **gate 전압으로 채널(전자의 길)을 만들었다 지웠다 하는 수도꼭지**다. 픽셀의 SF, reset 스위치, column의 전류원, ADC의 비교기까지 readout 회로의 거의 모든 소자가 MOSFET이다. 이 장은 회로를 해석하는 데 필요한 만큼만 MOS를 정리한다. 소자 내부의 더 깊은 물리는 CIS Pixel Device Physics 교재가 다룬다.

## Gate가 채널을 만든다
NMOS는 p형 실리콘 위에 얇은 산화막을 깔고 그 위에 gate 전극을 올린 구조다. 양옆에는 전자가 풍부한 source와 drain이 있다.

Gate에 양(+) 전압을 걸면 산화막 바로 아래로 전자가 끌려와 얇은 전자 층이 생긴다. 이 층이 source와 drain을 잇는 ==반전 채널==(inversion channel)이다. 채널이 생기기 시작하는 gate 전압이 ==문턱전압==(threshold voltage) $V_{th}$이고, 그보다 더 건 만큼을 ==overdrive==라고 부른다.

$$
V_{ov} = V_{GS} - V_{th}
$$

$V_{ov}$가 클수록 채널에 전자가 많아져 전류가 잘 흐른다. 아래 3D 모델에서 $V_{GS}$를 올리며 파란 채널이 두꺼워지는 것을 보자.

[[lab:mos3d]]

## Drain을 올리면 채널이 기울어진다
이제 drain 전압 $V_{DS}$를 올려 보자. Source 쪽은 그대로인데 drain 쪽은 전압이 높아진다. 그러면 drain 쪽에서는 gate와 채널 사이의 전압 차이가 줄어 채널이 얇아진다. 채널이 source에서 drain으로 갈수록 점점 가늘어지는 모양이 된다.

- $V_{DS}$가 작을 때(==triode==): 채널이 끝까지 이어져 있다. 저항처럼 동작해 $V_{DS}$에 비례해 전류가 는다.
- $V_{DS} \ge V_{ov}$일 때(==포화==): drain 끝에서 채널이 끊긴다(==pinch-off==). 이후로는 $V_{DS}$를 더 올려도 전류가 거의 늘지 않는다.

포화에서 전류가 거의 일정하다는 성질 덕분에 MOSFET은 **전류원**으로 쓰인다. column 끝의 bias 전류원(05장)이 바로 이 성질을 이용한다. 긴 채널 소자에서 흔히 쓰는 식은 다음과 같다.

$$
I_D = \frac{k}{2}\,V_{ov}^2 \quad (\text{포화}), \qquad k = \mu_n C_{ox}\frac{W}{L}
$$

:::deep triode 식과 영역 경계
Triode 영역의 전류는 $I_D = k\,[V_{ov}V_{DS} - V_{DS}^2/2]$다. 이 식은 $V_{DS} = V_{ov}$에서 최댓값 $kV_{ov}^2/2$에 닿고, 그 점에서 포화 식과 매끄럽게 이어진다. 실제 포화에서도 $V_{DS}$를 올리면 전류가 조금씩 는다. 끊긴 지점이 source 쪽으로 다가가 실제 채널이 짧아지기 때문이다(채널 길이 변조). 보통 $(1+\lambda V_{DS})$를 곱해 나타낸다.

이 식들은 긴 채널을 위한 1차 근사다. 짧은 채널에서는 전자의 속도가 포화하고 이동도가 줄어 전류가 $V_{ov}^2$보다 느리게 늘어난다. 정밀한 계산에는 BSIM 같은 compact model을 쓰고, 이 식은 경향과 손계산에 쓴다.
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## 문턱 아래에서도 전류는 흐른다
$V_{GS}$가 $V_{th}$보다 낮으면 전류가 0일까? 아니다. 수도꼭지를 거의 잠가도 물이 조금씩 새듯, 문턱 아래에서도 작은 전류가 흐른다. 이 영역을 ==약반전==(subthreshold, weak inversion)이라고 한다.

약반전 전류는 gate 전압에 **지수적으로** 변한다. 그래서 전류를 로그 축으로 그리면 직선이 된다. 전류를 10배 바꾸는 데 필요한 gate 전압은 실온에서 대략 70–100 mV다.

$$
I_D \propto \exp\!\left(\frac{V_{GS}-V_{th}}{n V_T}\right), \qquad V_T = \frac{kT}{q} \approx 25.9\ \text{mV}\ (300\ \text{K})
$$

픽셀에서 이 영역은 생각보다 자주 나온다. "꺼진" reset 스위치를 통해 새는 전류, reset이 끝나 갈 때 FD가 아주 천천히 더 충전되는 현상이 모두 약반전 전류다.

[[lab:mos]]

## 작은 변화를 다루는 세 숫자
회로에서 신호는 보통 큰 바탕(동작점) 위에 얹힌 작은 흔들림이다. 작은 흔들림만 볼 때는 소자를 세 개의 숫자로 요약한다.

- ==$g_m$==(transconductance): gate 전압을 조금 바꿀 때 전류가 얼마나 바뀌나. 소자의 "증폭력"이다.
- ==$g_{mb}$==: bulk(기판)와 source 사이 전압이 바뀔 때 전류가 얼마나 바뀌나. 아래 body effect에서 나온다.
- ==$g_{ds}$==: drain 전압이 바뀔 때 전류가 얼마나 바뀌나. 포화에서는 작지만 0은 아니다.

포화에서 $g_m$은 다음처럼 쓸 수 있다. 세 식은 같은 값이다.

$$
g_m = k\,V_{ov} = \sqrt{2kI_D} = \frac{2I_D}{V_{ov}}
$$

마지막 식이 특히 쓸모 있다. **같은 전류라면 $V_{ov}$를 작게 할수록 $g_m$이 커진다.** 대신 $V_{ov}$를 줄이려면 소자를 넓게(W/L을 크게) 만들어야 하고, 그러면 용량이 커진다(03장). 약반전에서는 같은 전류로 얻을 수 있는 가장 큰 $g_m = I_D/(nV_T)$를 얻는다.

## Body effect: 바닥이 올라오면 문턱도 오른다
Source 전압이 bulk보다 높아지면 채널 아래의 공핍층이 두꺼워지고, 채널을 만들기가 더 어려워진다. 그래서 문턱전압이 올라간다. 이것이 ==body effect==다.

$$
V_{th} = V_{th0} + \gamma\left(\sqrt{2\phi_F + V_{SB}} - \sqrt{2\phi_F}\right)
$$

Source가 신호에 따라 움직이는 source follower(05장)에서는 이 효과 때문에 출력이 입력을 덜 따라간다. 작은 신호에서는 $g_{mb} = \eta\,g_m$으로 나타나며 $\eta$는 대략 0.1–0.3이다.

> 주의: 회로 계산에서는 "그 조건에서의 문턱전압"을 직접 쓰는 경우가 많다. 그 값에 이미 body effect가 들어 있다면 위 보정을 다시 더하지 않는다.

## Finger: 넓은 소자를 나눠 그리기
넓은 transistor는 layout에서 여러 개의 가는 조각(==finger==)으로 나누어 그린다. finger가 NF개면 폭이 NF배인 소자 하나와 같다. 전류와 $g_m$은 finger마다 더해진다.

[[lab:nf]]

:::deep 총전류를 고정하고 finger를 늘리면
총전류 $I$를 NF개의 finger가 나누어 쓰면, finger 하나는 $I/\text{NF}$를 흘리고 $g_m$은 $\sqrt{2k_f I/\text{NF}}$다. 이것을 NF개 더하면 $\sqrt{2\,\text{NF}\,k_f\,I}$로, 폭이 NF배인 소자에 같은 전류를 흘린 것과 같다. 계산에서 흔한 실수는 **이미 전체 소자 기준으로 주어진 값에 NF를 한 번 더 곱하는 것**이다.
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## 온도가 바꾸는 것
온도가 오르면 문턱전압은 내려가고(대략 −1 ~ −3 mV/K), 전자의 이동도는 줄어든다. 두 효과는 전류에 반대 방향으로 작용한다. 약반전 전류는 온도에 훨씬 민감하다. 자세한 경향은 부록 A에서 다룬다.

## 핵심 정리
- Gate 전압이 채널을 만들고, $V_{ov} = V_{GS} - V_{th}$가 채널의 세기다.
- $V_{DS} < V_{ov}$이면 triode(저항처럼), $V_{DS} \ge V_{ov}$이면 포화(전류원처럼)다. 경계에서 drain 쪽 채널이 끊긴다.
- 문턱 아래에서도 전류는 지수적으로 흐른다(약반전).
- 작은 신호는 $g_m$, $g_{mb}$, $g_{ds}$로 다룬다. 같은 전류에서 $V_{ov}$가 작을수록 $g_m$이 크다.
- Source가 올라가면 문턱이 올라간다(body effect).