# Noise의 표현과 소자 원천

:::goals
- noise를 RMS와 분산으로 말하고, 독립인 원천은 분산끼리 더한다는 것을 안다.
- read noise를 출력 µV가 아니라 **전자 수(e⁻ rms)**로 말하는 이유와, 그때 conversion gain(CG)의 역할을 설명할 수 있다.
- PSD와 ASD의 뜻과 단위를 알고, 대역에서 적분해 RMS를 얻을 수 있다.
- 저항·트랜지스터의 thermal noise와 1/f noise를 소자 수준의 식으로 쓸 수 있고, RTS가 어디서 오는지 안다.
- $g_m$을 키우는 방법과 그 대가를 안다.
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## 한 문장으로
같은 장면을 여러 번 찍어도 픽셀 값은 매번 조금씩 다르다. 이 흔들림이 ==noise==다. noise는 평균이 0이라서 "얼마나 퍼져 있는가"로 말한다. 퍼짐의 크기는 ==RMS==(제곱 평균의 제곱근)이고, 그 제곱이 ==분산==이다.

서로 독립인 원천이 여럿이면 **분산끼리 더한다.** 40 µV와 30 µV의 독립 noise가 합쳐지면 70 µV가 아니라 $\sqrt{40^2+30^2} = 50$ µV다. 이것을 RSS(root-sum-square)라고 한다. 큰 원천 하나가 전체를 지배하기 쉬운 이유이기도 하다.

## Read noise는 전자 수로 말한다
회로에서 재는 noise는 전압이다. 그런데 이미지센서에서는 read noise를 거의 항상 **전자 수**로 말한다. 신호가 전자 수이기 때문이다. 출력에서 잰 noise 전압을 출력 conversion gain으로 나누면, "입력에서 전자 몇 개가 흔들린 것과 같은가"가 된다. 이것이 ==입력 환산 read noise==(input-referred read noise)다.

$$
\text{read noise}\;[e^-_{rms}] = \frac{V_{noise,\,rms}}{\text{CG}_{out}}
$$

출력 noise가 120 µV이고 CG가 60 µV/e⁻이면 read noise는 2 e⁻다. 이렇게 말하면 좋은 점이 셋 있다.

- **CG가 다른 픽셀끼리 공정하게 비교**할 수 있다.
- **신호와 바로 비교**할 수 있다. 신호 100 e⁻에 read noise 2 e⁻이면 SNR을 바로 어림할 수 있다.
- **CG를 키우는 효과**가 바로 보인다. 회로 noise 전압이 같아도 CG가 두 배면 read noise는 절반이다. 04장에서 작은 FD가 저조도에 유리하다고 한 이유다.

[[lab:irn]]

> 주의: 나누는 CG와 noise 전압은 **같은 관측점, 같은 동작 조건**의 값이어야 한다. FD에서 잰 CG로 column 출력 noise를 나누면 SF 이득만큼 틀린다. 서로 다른 위치의 원천을 합치는 방법은 11장에서 다룬다.

## 주파수로 펼쳐 보기: PSD
noise는 여러 주파수 성분의 합이다. 각 주파수 근처 1 Hz 폭에 들어 있는 분산을 ==PSD==(power spectral density)라고 하고, 단위는 V²/Hz다. 그 제곱근이 ==ASD==이고 단위는 V/√Hz다. 데이터시트의 "10 nV/√Hz"가 ASD다.

$$
\sigma^2 = \int_{f_1}^{f_2} S(f)\,df
$$

전체 분산은 PSD 곡선 아래의 면적이다. 이 교재는 양의 주파수만 쓰는 **단측** PSD를 쓴다. 음의 주파수까지 쓰는 양측 PSD와 비교할 때는 양의 주파수에서 값이 두 배 차이 난다.

## 저항과 트랜지스터의 thermal noise
저항 안의 전자는 열 때문에 무작위로 움직이고, 그 결과 양 끝에 흔들리는 전압이 생긴다. 이 ==thermal noise==는 모든 주파수에 고르게 퍼진 백색 noise다. 전압원으로 쓰면 $4kTR$, 전류원으로 쓰면 $4kT/R$이다.

$$
S_{v,R} = 4kTR, \qquad S_{i,R} = \frac{4kT}{R} \qquad (1\ \text{k}\Omega,\ 300\ \text{K} \Rightarrow 4.07\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}})
$$

MOSFET의 채널도 저항처럼 thermal noise를 낸다. drain 전류의 흔들림은 다음과 같이 쓴다.

$$
S_{i_d} = 4kT\,\gamma\,g_{d0}
$$

$g_{d0}$는 $V_{DS} = 0$일 때의 채널 컨덕턴스이고, $\gamma$는 채널 상태에 따른 계수다.

- **Triode, $V_{DS} \to 0$**: 채널이 그냥 저항이므로 $\gamma = 1$. 켜진 스위치는 $4kT/R_{on}$의 noise를 낸다(12장 kT/C의 출발점).
- **포화, 긴 채널**: $\gamma \approx 2/3$이고 $g_{d0} \approx g_m$이다. 그래서 흔히 $4kT\gamma g_m$으로 쓴다.
- **짧은 채널**: 강한 전기장 때문에 $\gamma$가 1보다 커지기도 한다. 정확한 값은 공정 모델에서 얻는다.

이 전류 noise를 gate 전압으로 옮기면(입력 환산) $g_m^2$로 나눈다.

$$
S_{v_g} = \frac{S_{i_d}}{g_m^2} = \frac{4kT\gamma}{g_m}
$$

**$g_m$이 클수록 gate 환산 thermal noise가 작다.** 그래서 SF나 증폭기 입력 소자의 $g_m$을 어떻게 키우느냐가 중요하다.

:::deep 약반전과 body 단자
약반전에서는 채널 noise가 shot noise처럼 행동해 $S_{i_d} \approx 2qI_D$가 되고, $g_m = I_D/(nV_T)$를 쓰면 gate 환산 값은 $2nkT/g_m$ 근처가 된다. 또 source follower처럼 bulk가 고정되고 source가 움직이는 소자에서는 $g_{mb}$가 이득을 깎으므로, 출력에서 본 noise는 $g_m$만이 아니라 $g_m + g_{mb}$와 부하가 함께 정한다(05장). 높은 주파수에서는 채널 noise가 gate로 결합되는 induced gate noise도 생기지만, 픽셀 readout 대역에서는 보통 작다.
:::

## gm을 올리려면
02장의 식을 다시 보자. 포화에서 $g_m = \sqrt{2kI_D} = 2I_D/V_{ov}$이다. $g_m$을 키우는 손잡이는 세 개다.

| 손잡이 | 효과 | 대가 |
|---|---|---|
| 전류 $I_D$를 늘린다 | $g_m \propto \sqrt{I_D}$ (강반전) | 전력, $V_{ov}$ 증가로 출력이 내려감(05장) |
| W/L을 키운다 | 같은 전류에서 $V_{ov}$가 줄어 $g_m$ 증가 | gate 용량 증가 → CG 감소, 정착 느려짐 |
| 약반전 쪽으로 간다 | $g_m/I_D$가 최대 $1/(nV_T)$ | 큰 W/L 필요, 속도 저하 |

특히 W/L을 키우는 방법은 끝없이 효과가 있지 않다. 소자가 약반전에 가까워지면 $g_m$이 $I_D/(nV_T)$에서 멈추고, 늘어난 용량만 남는다(수확 체감). 이 균형을 다루는 방법이 ==$g_m/I_D$ 설계법==이다.

> 함께 읽기: 강반전·약반전에서 $g_m$이 어떻게 달라지는지, W/L을 키울 때의 수확 체감과 $g_m/I_D$ 설계법은 MOSFET 반전 영역 교과서(InversionBook)의 "gm을 키우는 법", "gm/ID 설계 방법론", "강반전과 Square Law" 장에서 자세히 다룬다. 링크는 장 끝의 "함께 읽기"에 있다.

## 1/f noise와 corner
채널 가까이의 결함(trap)이 전자를 잡았다 놓았다 하면서 생기는 noise는 낮은 주파수일수록 크다. PSD가 주파수에 반비례해 ==1/f noise==(flicker noise)라고 부른다. 회로 계산에서 가장 많이 쓰는 간이식은 gate 환산 형태다.

$$
S_{v_g}(f) = \frac{K}{C_{ox}WL\,f}
$$

$K$는 공정과 소자 종류(NMOS, PMOS)에 따라 달라지는 계수다. 게이트 면적 $WL$이 클수록 결함이 평균되어 작아진다. 백색 noise와 1/f noise가 같아지는 주파수를 ==1/f corner==라고 한다. corner보다 낮은 주파수에서는 1/f, 높은 주파수에서는 백색이 지배한다.

[[lab:psd]]

1/f noise는 대역을 10배 넓힐 때마다 같은 양씩 늘어난다. 그래서 아주 낮은 주파수까지 적분하면 끝없이 커진다. 실제로는 한 번 읽는 데 걸리는 시간과 CDS가 낮은 주파수 쪽을 잘라 준다(13장).

## 1/f noise의 소자 모델
간이식 뒤에는 두 가지 물리 그림이 있다.

- **수 요동(number fluctuation, McWhorter)**: 산화막 가까이의 trap이 채널 전자를 붙잡았다 놓으면 채널의 전자 수가 흔들린다. trap들의 시간 상수가 고르게 퍼져 있으면 합쳐서 1/f가 된다.

$$
S_{v_g}(f) = \frac{q^2\,kT\,\lambda\,N_t}{W L\,C_{ox}^2\,f}
$$

$N_t$는 산화막 trap 밀도(단위 에너지·부피당), $\lambda$는 전자가 산화막으로 터널링하는 감쇠 길이다. 산화막이 얇아 $C_{ox}$가 클수록, 면적이 클수록 작아진다.

- **이동도 요동(mobility fluctuation, Hooge)**: 전자의 이동도 자체가 흔들린다. 채널의 전자 수 $N$이 많을수록 상대 흔들림이 작아진다.

$$
\frac{S_{i_d}}{I_D^2} = \frac{\alpha_H}{N\,f}
$$

회로 시뮬레이터는 이 둘을 경험식으로 묶어 쓴다. 고전적인 SPICE 형태는 다음과 같다.

$$
S_{i_d}(f) = \frac{KF \cdot I_D^{AF}}{C_{ox} L^2 f^{EF}}
$$

$AF$, $EF$는 보통 1 근처다. $AF = 1$이고 포화에서 $g_m^2 = 2\mu C_{ox}(W/L)I_D$로 나누면 gate 환산 값은 $KF/(2\mu C_{ox}^2 WL f)$가 된다. 면적과 주파수에 대한 의존성 $1/(WLf)$는 간이식과 같고, $C_{ox}$와 이동도는 계수 쪽에 묶인다. 그래서 간이식의 $K$와 SPICE의 $KF$는 같은 숫자가 아니다. BSIM 같은 최신 모델은 수 요동과 그에 따른 이동도 요동을 함께 다루는 통합 모델을 쓴다.

[[lab:devnoise]]

> 주의: $K$, $KF$, $N_t$ 같은 계수는 공정마다, 같은 공정에서도 NMOS·PMOS와 bias에 따라 크게 다르다. 이 장의 숫자는 예제다. 같은 이름의 계수라도 모델마다 단위와 정의가 다르므로, 계수를 옮겨 쓸 때는 어느 식의 계수인지 확인한다.

## 하나의 trap: RTS
소자가 아주 작으면 trap이 하나만 지배할 수 있다. 그러면 전류가 두 값 사이를 오가는 ==RTS==(random telegraph signal) noise가 된다. 대부분의 픽셀은 조용한데 몇몇 픽셀만 유난히 시끄러운, noise 분포의 긴 꼬리가 여기서 생긴다. 물리는 CIS Pixel Device Physics 교재의 read noise 장이 자세히 다룬다.

## FD 주변의 다른 원천
- **Reset noise**: reset을 놓을 때 남는 무작위 전하. 크기는 $\sqrt{kT/C}$이며 12장에서 유도한다. CDS로 지워진다.
- **암전류 shot noise**: FD나 포토다이오드로 새어 드는 전류 $I$는 낱개 전자로 오므로 흔들린다. PSD는 $2qI$이고, 쌓인 전자 수 $N$의 흔들림은 $\sqrt{N}$이다.
- **누설·GIDL**: 꺼진 스위치나 gate 가장자리에서 새는 전류도 같은 방식으로 noise가 된다.

## 핵심 정리
- noise는 RMS(또는 분산)로 말하고, 독립 원천은 분산끼리 더한다(RSS).
- read noise [e⁻] = 출력 noise 전압 / 같은 관측점의 CG. CG가 크면 같은 회로 noise가 더 적은 전자에 해당한다.
- PSD는 1 Hz당 분산, ASD는 그 제곱근. 분산은 PSD 아래 면적이다.
- thermal noise: 저항 $4kTR$, 채널 $4kT\gamma g_{d0}$ (포화 장채널 $\gamma \approx 2/3$), gate 환산 $4kT\gamma/g_m$.
- $g_m$은 전류, W/L, 반전 정도로 키우며 각각 대가가 있다($g_m/I_D$ 설계).
- 1/f noise: 간이식 $K/(C_{ox}WLf)$, 물리는 수 요동(McWhorter)과 이동도 요동(Hooge), 시뮬레이터는 SPICE·BSIM형 경험식. 둘이 만나는 곳이 corner다.
- 작은 소자에서는 RTS가 noise 분포의 꼬리를 만든다.