# Noise 전달과 적분 :::goals - 회로를 지나는 noise의 PSD가 $|H(f)|^2$배로 바뀐다는 것을 안다. - 서로 다른 위치에서 생긴 noise를 같은 기준점(입력)으로 옮겨 더할 수 있다. - 등가 noise 대역폭(ENBW)으로 적분을 간단히 어림할 수 있다. - 유한한 대역에서 적분할 때 무엇을 빠뜨릴 수 있는지 안다. ::: ## 한 문장으로 noise는 생긴 자리에서 끝나지 않는다. 뒤따르는 회로를 지나며 **어떤 주파수는 키워지고 어떤 주파수는 걸러진다.** 그래서 같은 noise 원천이라도, 어디서 생겼고 무엇을 지났는지에 따라 최종 크기가 달라진다. ## PSD는 이득의 제곱으로 바뀐다 선형 회로의 전달함수가 $H(f)$라면, 지나간 noise의 PSD는 이렇게 된다. $$ S_{out}(f) = |H(f)|^2\,S_{in}(f) $$ 전압 이득이 2이면 RMS는 2배, PSD는 4배다. **ASD에는 $|H|$를, PSD에는 $|H|^2$를 곱한다.** 둘을 섞으면 결과가 제곱만큼 틀린다. ## 같은 기준점으로 옮기기 픽셀 신호는 FD → SF → column 증폭 → ADC를 지난다. 각 단에서 생긴 noise를 비교하려면 모두 **같은 기준점**으로 옮겨야 한다. 보통 FD(또는 전자 수)를 기준으로 삼는다. 어떤 단의 noise를 앞쪽으로 옮길 때는 그 앞에 있는 이득으로 나눈다. $$ v_{n,FD} = \frac{v_{n}}{A_{\text{앞단 전체}}}, \qquad \text{read noise} = \frac{\sqrt{\sum v_{n,FD}^2}}{\text{CG}_{FD}} $$ 뒷단 noise는 앞단 이득만큼 작게 보인다. 그래서 **첫 단의 이득과 noise가 전체 read noise를 좌우**한다. column에서 신호를 먼저 키우면 ADC noise의 몫이 줄어드는 이유다. [[lab:refer]] ## 면적을 쉽게 구하는 법: ENBW 백색 noise $S_0$가 1-pole 저역 통과 필터(대역 $f_c$)를 지나면, 출력 분산은 다음과 같다. $$ \sigma^2 = \int_0^\infty \frac{S_0}{1+(f/f_c)^2}\,df = S_0 \cdot \frac{\pi}{2} f_c $$ 이 결과는 "높이 $S_0$, 폭 $\tfrac{\pi}{2}f_c$인 직사각형"의 면적과 같다. 이 폭을 ==등가 noise 대역폭==(ENBW)이라고 한다. 필터 모양이 달라도 ENBW만 알면 백색 noise의 분산을 바로 구할 수 있다. ## 어디까지 적분하나 실제 계산은 유한한 대역에서 한다. 이때 두 가지를 조심하자. - **너무 일찍 자르면 놓친다.** 1-pole 출력을 $f_c$까지만 적분하면 전체 분산의 **절반**만 들어온다. $f_c$는 진폭이 $1/\sqrt{2}$가 되는 점일 뿐, 면적의 끝이 아니다. - **낮은 주파수 쪽**: 1/f noise는 하한을 낮출수록 계속 커진다. 하한은 관측 시간이나 CDS 같은 처리로 정해진다. [[lab:noise]] :::deep 수치 적분에서 놓치지 않으려면 PSD가 표로 주어지거나 닫힌형이 없으면 수치 적분을 한다. 대역이 여러 자릿수에 걸치므로 로그 주파수 격자를 쓰는 것이 좋다. 적분 구간 밖에 남은 꼬리는 PSD의 경향(예: 높은 주파수에서 $1/f^2$)으로 상한을 구해 함께 적는다. 구간 안의 오차는 격자를 촘촘히 하거나 적응형 구적법(예: Gauss–Kronrod)으로 추정한다. 어떤 기준으로 "충분히 수렴했다"고 판단했는지를 결과와 함께 남기는 것이 좋다. 부록 B에서 자세히 다룬다. ::: ## 핵심 정리 - 회로를 지난 noise의 PSD는 $|H|^2$배가 된다. ASD에는 $|H|$, PSD에는 $|H|^2$. - 서로 다른 위치의 noise는 앞단 이득으로 나눠 같은 기준점으로 옮긴 뒤 분산으로 더한다. - 첫 단의 이득과 noise가 전체를 좌우한다. - 1-pole 백색 noise의 분산은 $S_0 \cdot \tfrac{\pi}{2}f_c$ (ENBW). - $f_c$까지만 적분하면 절반만 들어온다. 1/f는 하한에 민감하다.